静电场 习题集答案

考试专题    来源: 习题集答案      2024-07-13         

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静电场
 
1. 一个半径为R的电介质球,极化强度为P=Kr/r2,电容率为ε,
 
a) 计算束缚电荷的体密度和面密度;
 
b) 计算自由电荷体密度;
 
c) 计算球外和球内的电势;
 
d) 求该带电介质球产生的静电场总能量。
 
2. 在均匀外电场中置入半径为R0的导体球,试用分离变数法求下列两种情况的电势:
 
a) 导体球上接有电池,使求与地保持电势差Φ0;
 
b) 导体球上带总电荷Q。
 
3. 均匀介质球的中心置一点电荷Qf,球的电容率为ε,球外为真空,试用分离变数法求空间电势,把结果与使用高司定理所的结果比较。
 
4. 均匀介质球(电容率为ε1)的中心置有一自由电偶极子pf,球外充满了另一种戒指(电容率为ε2),求空间各点的电势和极化电荷分布。
 
5. 空心导体球壳的内外半径为R1和R2,球中心置有一偶极子p,球壳上带电Q,求空间各点电势和电荷分布。
 
6. 均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷ρf的绝缘介质球(电容率ε),求空间各点的电势。
 
7. 在一很大的电解槽中充满电导率为σ2的液体,使其中流着均匀的电流Jf0,今在液体中置入一个电导率为σ1的小球,求稳恒时电流分布和面电荷分布,讨论σ1》σ2及σ2》σ1两种情况的电流分布的特点。
 
8. 半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质ε,导体球接地,离球心为a处(a>R0)置一点电荷Qf,试用分离变数法求空间各点电势,证明所的结果与镜象法结果相同。
 
9. 接地的空心导体球的内外半径为R1和R2,在球内离球心为a(a<R1)处置一点电荷Q,用镜象法求电势,导体球上的感应电荷有多少?分布在内表面还是外表面?
 
10. 上题的导体球壳不接地,而是带总电荷Q0,或使其有确定电视ψ0,试求这两种情况的电势,又问ψ0与Q0是何种关系时,两种情况的解是相等的?
 
11. 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图),半球的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,并与平面相距为b(b>a),试用电象法求空间电势。
 
12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的指教空间内,它到两个平面的距离为a和b,求空间电势。
 
13. 设有两平面围成的直角形无穷容器,其内充满电导率为σ的液体,取该两平面为xz和yz面,在(x0,y0,z0)和(x0,y0,-z0)两点分别置正负电极并通以电流I,求导电液体中的电势。
 
14. 画出函数dδ(x)/dx的图,说明ρ=-(p·▽)δ(x)是一个位于原点的偶极子的电荷密度。
 
15. 证明(1)δ(ax)=δ(x)/a,(a>0) (若a<0,结果如何?) (2)xδ(x)=0
 
16. 一块极化介质的极化矢量为P(x’),根据偶极子静电势的公式,极化介质所产生的静电势为ψ-∫vP(x’)·r/(4πε0r3)dV’,另外,根据极化电荷公式ρp=-▽’·P(x’)及σp=n·p,极化介质所产生的电势又可表为ψ=-∫v▽’·P(x’)/ /(4πε0r)dV’+∮sP(x’)·dS’/(4πε0r)。试证明以上两式是等同的。
 
17. 证明下述结果,并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。
 
a) 在面电荷两侧,电势法向微商有跃变,而电势是连续的。
 
b) 在面偶及层两侧,电势有跃变ψ2-ψ1=n·p/ε0,而电势的法向微商是连续的。
 
18. 一半径为R0的球面,在球坐标0<θ<π/2的半球面上电势为ψ0,在π/2<θ<π的半球面上电势为-ψ0,求空间各点电势。
 
19. 上题能用格林函数方法求解吗?结果如何?
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